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2. 祖暅原理及应用祖原理求球的体积 祖暅原理也就是“等积原理”。它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的。祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。[2] 等积原理的发现起源于《九章算术》中的答案是错误的。他提出的方法是取每边为1寸的正方体棋子八枚，拼成一个边长为2寸的正方体，在正方体内画内切圆柱体，再在横向画一个同样的内切圆柱体。这样两个圆柱所包含的立体共同部分像两把上下对称的伞，刘徽将其取名为“牟合方盖”。（古时人称伞为“盖”，“牟”同侔，意即相合。）根据计算得出球体积是牟合方盖体的体积的四分之三，可是圆柱体又比牟合方盖大，但是《九章算术》中得出球的体积是圆柱体体积的四分之三，显然《九章算术》中的球体积计算公式是错误的。刘徽认为只要求出牟合方盖的体积，就可以求出球的体积。可怎么也找不出求导牟合方盖体积的途径。 祖暅沿用了刘徽的思想，利用刘徽“牟合方盖”的理论去进行体积计算，得出“幂势相同，则体不容异”的结论。“势”即是高，“幂”是面积。这一原理主要应用于计算一些比较复杂几何体的体积上面。[2]而在西方，直到十七世纪，才由意大利的一名数学家卡瓦列里（Cavalieri.B，1589-1647）发现。于1635年出版的《连续不可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为“卡瓦列里原理”。其实，他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。 因此，我们可以利用祖暅原理来求得球的体积。 为求得球的体积，我们先研究半球（半径为R）的体积计算。为了应用祖暅原理，我们需要找到或是借助一个能够求体积的，使得它和半球的高度一样，并且用任何一个水平面去截他们时，得到的截面面积都相等的几何体。如右图，设平行于大圆且与大圆的距离为l的平面截半球所得面积的半径为r，r2=R2-l2，于是截面面积： S1=πr2=π（R2-l2）=πR2-πl2。S1可以看成是在半径为R的圆面上挖去一个半径为l的同心圆，所得圆环的面积。 为此，我们取一个底面半径和高均为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面上，如下图。 用任一水平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环面。由上述可知： 圆环大圆半径为R，小圆半径为l，面积S2=πR2-πl2。所以，S1=S2。 根据祖暅原理，这两个几何体体积相等。即： 12V球=πR2·R-13πR2·R =23πR3， 所以球的体积 V球=43πR3。[12] 不论是刘徽的“割圆术”还是体积理论都体现了辩证的极限思想，使有关“量的可分性”假定得到了解释，从某种意义上来说刘徽的极限思想与现代的微积分思想一致。虽然他没有推证出球体积公式，但他创用的特殊形式的不可分量方法，成为后来祖冲之父子在球体积问题上取得突破的先导。[6]从解决球体积公式的过程来看， 祖冲之父子比较高明的地方在于吸取了刘徽的教训， 不再直去钻牟合方盖体积的那个牛角尖， 而改为研究方盖差的体积，从而获得了成功，也正是这条途径才引导他们获得“祖暅原理”。刘徽以其对数学的杰出贡献，当之无愧地成为公元3 世纪世界上最杰出的数学家。他为中国古代数学奠定了坚实的理论基础，堪与欧几里德对古希腊数学的总结和整理相媲美。 |
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