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作为中学生，已经接触到了球体的体积公式，而且也时常应用球体体积公式的计算、处理一些实际问题。但是在中学时，并没有要求同学们对推导球体体积公式作理解。因此，许多中学生都只能用死记硬背的方式记住了其体积公式，并不知道它的来源。其实，当我们看了或者了解了古人对球体体积公式推导之后，我们可能会受益匪浅，而且也会用惊讶语气说一句：你们太厉害了！ 1. 阿基米德及他应用力学探究方法确定的球体积 众所周知，古希腊最伟大的数学家非阿基米德莫属。阿基米德出生于意大利西西里岛的叙拉古。他的父亲是天文学家。母亲出生于名门望族，且知书达理。也许正是因为阿基米德生活在这样一个文化风味极强的生活之中，使得他在学术方面取得许多成就。青年时代的阿基米德曾到号称“智慧之都”的压力山大城求学，那里的科学研究包括四方面：文学、数学、天文学和医学，由于希腊天文学实际是一种数理天文学，以天体运动的数学设计为其主要内容，而医学等也含有数学，因此，数学在压力山大占有主导地位。在那求学时，阿基米德系统地阅读了欧几里得的《几何原本》，及研究了古希腊时期巧辩学派代表人物的著作及安提丰等人关于三大几何问题讨论的种种方法。正是因为安提丰和欧多克索斯的群竭法对阿基米德的影响，使得后来发展成为他处理无限问题的基本工具。[10] 此外，阿基米德在力学方面和天文学方面的贡献也是相当杰出的。 正是由于阿基米德结合了他在各个方面的研究，他在《方法论》中应用力学探究方法确定了球的体积。具体思路如下： 设半径为R的球，圆锥和圆柱的高都是2R，底面半径分别是2R与R。如下图所示，即为它的轴截面图。 由图中数据有：切片与N的距离为x，薄片的厚度为△x，r2=R2-（x-R）2即r2=x（2R-x）；近而有三个薄片的体积分别是： 球片：πx2R-xΔx 柱片：πR2Δx 锥片：πx2Δx 当△x趋于2R时，即可得球体、圆柱和圆锥的体积。设球体、圆柱和圆锥的体积分别为V1、V2和V3，有： V2=πR2·2R； V3=23π（2R）2·R； 在此，阿基米德利用力矩合成平衡原理，将球体和椎体的薄片挂在T点（TN=NS=2R）上，则有下列等式： （G1+G3）L =2（pv1·g+pv3·g）R =2pg [xπ（2R-x）·Δx+πx2△x]R =4pgπR2ΔXr =4xG2 即等价于：2R（V1+V3）=4R·V2 即：2R（V1+8πR33）=8πR4， 故有：V1=43πR3[10] 以上乃是阿基米德在《方法论》中运用力学探究方法的基本思想对球体体积的推导。他的这种求法通常也被人们称为劈积法推导体积法，在其中，也应用到了极限思想，以及他巧妙地将球的体积和圆柱及圆锥的体积结合在一起，也正是以上所有因素，致使他推导出球的体积。 其实，在当时，阿基米德间接地应用了取极限的方法，因此，就是我们在大学中所学习到的积分求球体体积的方法： V=∫∫∫dv =∫∫∫（ρ^2）sinθdρdθdφ =（13R3）*[（-cos（π））-（-cos（0））]* （2π-0） =43πR3） |
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