早在Klasen之前，Townsend（1979）也做过类似的研究，他针对十二项有关养老保险的指标，对家户进行考察。当一个家庭对养老保险感到满意时赋值为1，否则为0。最后进行指标统计，以数值6为统计临界值[26]。无独有偶，Pradhan和Ravallion（2000）在处理来自尼泊尔和牙买加的微观数据时，借助Probit模型来瞄定主观贫困线。他们根据个体的具体情况，在不同维度上设置了1～4的数值来表示不满意到非常满意的不同级别[27]。这些方法仍存在局限性，它相当于把多维指标综合为单一的一个指标，只是简单地起到了综合不同维度来表述福利和贫困线的一般化作用。

　　综上可知，基于非公理化方法的多维贫困测量，大部分是借助个体家计调查数据，运用若干福利指标进行测算的。然而，在许多发展中国家中，要么数据的搜集很难完成，要么取得的数据质量不高。可靠有效的数据来源，是完成贫困测量最基本的前提。另外，多维贫困测量涉及到的各指标权重问题中，主要采取两种常规方法。一是等权重分配法，二是统计分析法，如主成分分析法（PCA）、多重对应分析等。很显然，第二种方法更可取，在构造权重和指标综合方面具有显著的稳健性。然而，邹薇和方迎风（2012）指出，PCA法解释能力有限，仅适宜个体之间贫困程度的相互比较[28]。这正是该方法的一个明显缺陷，从而限制了它的运用范围。此外，Filmer和Prichett（2001）、Sahn和Stifel（2003）提出用因子分析法来取代PCA法，并成功运用因子分析法构建多维贫困指数，并对多维贫困问题进行研究[29-30]。Booysen等（2005）也通过多重对应分析法对七个非洲国家的贫困趋势进行了探讨。结果表明，相比等权重的方法，该方法能获得较为稳健的指标值[31]。

　　四、基于公理化方法的多维贫困测量

　　多维贫困的公理化方法大部分是源于单维贫困公理，在这方面的研究中，国内学者张建华和陈立中（2006）系统地对贫困度量的公理方法，诸如焦点公理、单调性公理、转移敏感性公理、连续性公理等，做了完整的概述和总结[32]。相比单维贫困公理，多维贫困公理更显得完善。增加了非贫困增长性公理、基本需求非下降性公理、规模不变性公理、贫困维度可分解性公理、以及贫困维度间关联增强性转换非下降公理[33]。这些公理相互间独立，对贫困指数优劣的比较都具有科学合理的参考价值。限于文章篇幅，在此不再对公理标准做详细介绍，接下来主要对多维贫困指数进行阐述。一般来说，要对一个贫困指标P（X，z）的特性进行描述（见式6），将依据贫困测量中的公理体系完成。

　　式（7）中，n表示个体或家庭总数，q为贫困人口数，yi表示个体i的货币性收入，Z=（z1，z2，？撰，zm）T为相应维度上被剥夺临界值（cut-offvalue）组成的向量。式（8）和式（9）中，？啄j是反映第j维度贫困厌恶程度的系数，Fj表示在j个维度上低于临界值而被视为贫困个体的集合。Watts多维贫困指数的优点不仅能反映社会福利状况的变化，还能表示收入分配恶化而引起贫困的恶化程度。他们运用该指数，结合世界各国1993—2002年的截面数据，从人均GDP、预期寿命、文盲率三个方面，运用夏普里分解推导了世界多维贫困的相关决定因素[33]。在这之后，国内学者陈立中（2008）也运用Watts贫困指数，从收入、知识和健康三个维度对我国1990年、1997年和2003年的多维贫困进行了测算，并对引起贫困状况变化的因素进行了夏普里分解，得出了引起国内贫困大幅度下降的因素中，收入贫困下降最多，健康贫困最少的观点[34]。

　　Thorbecke（2005）指出，Watts多维贫困指数Pw（X，z）能综合反映贫困人口间维度的分布状况。当？啄j=npj/∑1mnpj时，该指数表示不同贫困维度的权重分配，因此克服了非公理标准下相关指数在权重分配上过于主观的问题，且它具有单调性、转移性、转移敏感性、人口子群可分解、贫困维度可分解等优良特性[35]。然而，它最大的缺点在于本身不具备特别明显的直观意义，且在对不同贫困状况做比较分析时，该指数中的对数形式对较小数值具有敏感性，导致计算结果与其他指数可能会存在不一致[36]。

　　另外，Tsui（2002）基于Chakravarty（1998）提出的相关多维贫困测量框架基础上，在满足绝大部分多维贫困公理的前提下，构建了Tsui贫困综合指数，即：

　　式（10）中，？茁j为常量，且∑mj=1？茁j=1。当？茁j>0时，Tsui指数满足转移性公理；当？茁j？茁m>0时，Tsui指数符合单调性公理。总之，该指数是一个Chakravarty测量方法的多维度拓展，最明显的缺陷是不符合贫困的可分解性公理[37-38]。在Chakravarty等人之前，较早对贫困进行多维分解研究的是Hagenaars（1987）。他在单维贫困指数的基础上，引入收入和闲暇两个维度，构建Hagenaars多维贫困指数（HagenaarsMultidimensionalPovertyIndex），简称HM指数[7]。即：

　　式（11）中，参数？姿表示个体或家庭的特征变量，如家庭结构、家庭规模等；常数N表示个体或家庭特征的总量或类别；变量t是时间与闲暇之间的替代变量，表示在不同的？姿情况下闲暇维度的取值。HM指数是首次从两个维度测量贫困问题的多维度贫困指数。该指数引入了表现人们需求偏好的效用函数，理论上是一种新的突破，具有一定的前瞻性。它的最大优点在于，选用维度指标数据的可获得性，即收入和闲暇数据在统计上具有可行性，易于获取，且数据获取后具有较高的信度。缺点在于，它不满足连续性和贫困维度间关联增强性转换非下降公理[39]。

　　总的来说，公理化方法不仅使研究者对贫困测量的理解变得容易，而且提供了一种有效的分析工具。该方法虽不是衡量贫困的唯一尺度，但对于贫困测量、反贫困政策等提供了科学可靠的依据。基于公理化体系的多维贫困方法，在构建贫困指数的过程中减小了主观随意性的影响。不足之处在于，所有基于公理化标准的指数，或多或少都违背了部分公理。Zheng（2000）指出，尽管所有的贫困指数没有任何一个满足全部的公理要求，但一般受到普遍认可的应满足焦点性公理、连续性公理、单调性公理和转移-敏感性公理[39]。

　　五、多维贫困问题的进一步讨论

　　近来年，由于大部分国家或地区数据的获得变得越来越容易，数据问题已不再是贫困研究的“瓶颈”，这使得以福利为基础的多维贫困测量成为可能。于是，各维度的选取、权重的分配、指标的定量或定性问题等逐渐成为贫困研究者进一步关心的。然而，从福利角度测量多维贫困，维度的选取上往往涉及到了道德的层面。哪些福利指标应该纳入维度范畴，各指标临界值如何确定？一个高收入但处于文盲或预期寿命低于临界值的个体，是否应视为贫困人口？这些问题成为了当前多维贫困测度过程中不得不面对的。这不仅反映了一个国家或地区的多维贫困状况，而且关系到反贫困政策的制定和实施。正如前面提到的MPI贫困指数，该指数选取的三个维度10项指标中，没有涉及到心里健康、就业、人生自由等方面，那么这些指标难道就不重要？答案显然是否定的。

　　其次，测定多维贫困时，大部分指标都是建立在定量和定性相结合基础上的。然而，定性方面的问题正是多维贫困测量过程中面临的一个难题。近几年，越来越多的贫困研究者，通过采取主动参与式贫困评估方法来研究多维贫困。该方法是定性研究的典型，比定量方法显得更主观，涉及了有关个体或家庭心理感观方面的福利指标，如自由、安全和社会融入等。国内学者李小云等（2005）在这方面做了研究，构建了参与式贫困指数（PPI），该方法通过调查对象主动参与的方式来获取数据。他们选取了涉及生产条件、生活状况和卫生条件，三个维度上的8个定性指标，运用事先构建的PPI指数，对贫困村进行识别[40]。指数的开发，一定程度上改变了贫困测量自上而下的传统方式，让被调查对象主动参与测量过程，参与者的主体性得到尊重，积极性增强。但由于各地区贫困问题差异性大，在我国无法建立统一的PPI指标体系。同时，该指数在临界值的确定上没有统一的标准，即PPI指数为何值时研究对象被瞄定为贫困。

　　主动参与式贫困评估方法，通过对个体采取参与式调查方式获取数据，在设定的临界值标准下回答是否感觉到处于贫困，来建立并整合成相关维度判定标准。通过这种方式获得的信息，显然带有较大的主观性，个体在陈述自我感觉贫困与否的过程中，未免会受到周围环境的影响，尤其是其他个体在本问题上所持的态度或心理预期。的确，定性和定量方法相结合方式，可能获得一些有关个体现实状况的有用信息，更容易测定贫困人口的福利水平，但通过该方法获得的信息，存在信度低的缺陷。个体往往在问题的回答上偏向于自身利益的考虑，对自身有利的方面则声称自己仍处于该标准之下，希望继续获得政府或相关部门的补助或关照，其实不然。