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Ｐｃ ＝Ｐｆ＋ｆ（Θ） Ｐ ·ｃ ＝Ｐ·ｆ＋?ｆ?ΘΘ · Ｐ¨ｃ ＝Ｐ¨ｆ＋?ｆ?ΘΘ ¨＋ ｄｄｔ（?ｆ?Θ）Θ· （１）其中，Θ ＝ ［θ１ θ２ θ３］Ｔ，ｆ 表示脚和质心的位置关系。 一般保守力系的拉格朗日方程为 ｄｄｔ（?Ｌｑ· ）－?Ｌｑ ＝Ｑ （２） ｑ＝ ［θ１ θ２ θ３ ｘ ｙ］Ｔ Ｑ ＝ ［τ１－τ２ τ２－τ３ τ３ Ｆｘ Ｆｙ］Ｔ其中，Ｌ 为拉格朗日函数或动势；ｑ为选取的广义坐标；Ｑ 为各广义坐标对应的广义力；ｘ、ｙ 为踝关节在惯性系中的坐标；τ１、τ２、τ３ 分别为三个在关节上施加的主动力矩；Ｆｘ、Ｆｙ为地面对脚的反作用力。 模型的动力学方程表述如下： Ｄ（ｑ）ｑ¨＋Ｃ（ｑ，ｑ· ）ｑ· ＋Ｇ（ｑ）＝Ｑ （３）其中，Ｄ（ｑ）为广义惯性矩阵，Ｃ（ｑ，ｑ· ）为哥氏矩阵，Ｇ（ｑ）是重力项。 当机器人处在站立段时，采用ＺＭＰ作为稳定性判据，自ＺＭＰ判据提出至今，已经出现了许多不同的ＺＭＰ定义。概括起来主要有两类：一类从地面反力的角度出发，将地面反力向地面上某点等效，在该点处地面反力的力矩水平分量为零；另一类是指机器人机构上的重力与惯性力的合力的地面投影线的交点。按第二类定义，本文ＺＭＰ公式可以简化如下： ｘｐ ＝τ１Ｆｙ （４） １．２ 碰撞模型 假设着地碰撞过程是瞬间完成的非弹性碰撞，碰撞前广义坐标和广义速度分别记为ｑ－ 和ｑ·－，碰撞后广义坐标和广义速度记为ｑ＋、ｑ· ＋。碰撞前后广义坐标不变，广义速度突变，即ｑ－＝ｑ＋，ｑ·－≠ｑ· ＋，且碰撞后脚尖的速度为０。方程如下： Ｄ（ｑ）（ｑ· ＋－ｑ· －）＝ＪＴδＦ （５）Ｊｑ· ＋＝０ （６） 其中，Ｊ为雅可比矩阵，δＦ为冲击力在碰撞时间内的冲量，由式（５）和式（６）可以得到冲击后各个关节的角速度为 ｑ· ＋＝ ［Ｉ－Ｄ－１ ＪＴ（ＪＤ－１ ＪＴ）－１ Ｊ］ｑ· － （７）其中，Ｉ是和Ｄ 同维数的单位矩阵。 ２ 参数化轨迹优化 ２．１ 跳跃过程的分解 机器人的整个跳跃过程如图２所示，包含开 始段（ｓｔａｒｉｎｇ ｐｈａｓｅ）、腾空段（ｆｌｉｇｈｔ ｐｈａｓｅ）和站立段（ｓｔａｎｃｅ ｐｈａｓｅ）或停止段（ｓｔｏｐｐｉｎｇ ｐｈａｓｅ）。 开始段是机器人从静止直立状态到达离地前一时刻的状态（ｔａｋｅ ｏｆｆ）；腾空段是以脚离开地面开始，到脚再次与地面碰撞（ｔｏｕｃｈ ｄｏｗｎ）的前一刻结束；站立段从脚碰撞地面后一刻开始，到下一次腾空前结束；停止段从碰撞后一刻开始，到静止直立状态结束。 ２．２ 周期跳跃过程轨迹优化 周期跳跃过程包含腾空段和站立段，如图２ 所示。给定跳跃步长为Ｌｓ ＝０．２５ｍ；跳跃高度（脚离地前和落地后之间的高度差）为ｈｓ，特别地，当机器人在水平地面跳跃时，ｈｓ ＝０；本文假定跳跃过程都在水平地面环境下完成，腾空段前向速度为ｖｃｘ ＝０．５ｍ／ｓ。假设在腾空段开始时，脚的位置为Ｐｆｌ ｆ０ ＝ ［０ ０］Ｔ，则第一次落地后脚的位置为Ｐｆｌ ｆｆ＝ ［Ｌｓ ｈｓ］Ｔ，其中上标ｆｌ表示腾空段，下标第一个字母ｆ表示脚（ｆｏｏｔ），第二个字母０表示一个阶段开始时刻，第二个字母ｆ表示一个阶段的终了时刻，下文也沿用这种表示方法。选定起跳时刻和碰撞时刻三个关节角 然后由式（１）可以得到腾空段质心初始位置和终了位置Ｐｆｌ质 心在腾空段是抛物线轨迹，由此可以确定腾空段时间和初始时刻竖直方向上质心速度： 机器人从站立段到腾空段，脚的位置、速度、 加速度是连续的，所以在腾空段初始时刻，脚的速度和加速度分别为Ｐ 腾空段踝关节不提供力矩，是一个欠驱动过 程，三个关节角不是相互独立的。运用参数化方法假定关节角１和关节角２按如下规律进行变化： θｊ（ｔ）＝ａｊ１＋ａｊ２ｔ＋ａｊ３ｔ２＋ａｊ４ｔ３＋ａｊ５ｔ４＋ａｊ６ｔ５＋ａｊ７ｔ３（ｔ－ｔｆｌ）３ （１０）ｊ＝１，２ 注意到，最后一个系数的改变不影响角度、角 速度、角加速度的边界值，它的存在用于改变曲线的形状。上述２个关节角共１４个系数，加上关节角３初始时刻角速度θ · ｆｌ ３，０ 共１５个未知参数。 腾空段外力只有重力，所以其关于质心的角 动量守恒。由此可得关系式 将整个腾空时间离散化，假设分为Ｎ 个时间 间隔Δｔ，将第ｋ个时间间隔内的Θｆｌ 代入式（１１）中可以得到θ ¨ ３，ｋ，运用欧拉公式进行 数值积分得到 由式（１０）～ 式（１３）计算出所有关节角的角度、角速度和角加速度后，再由式（２）可以计算出每个采样时间内的膝关节和髋关节力矩τ２、τ３，踝关节力矩τ１ ＝０。 机器人在腾空段的优化模型如下： 目标函数：ｃ＝ １２ 其中，ｙｆｌ 表示腾空段时脚在惯性系中的竖直方向 |
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